Намаляване на общото уравнение на втория ред на каноничната форма

Общото уравнение на втората повърхност цел има формата:

В квадратна част на уравнението - е квадратна форма

квадратна форма на матрица:

В каноничното уравнение на квадратното част на матрицата трябва да е диагонал. Наясно сме, че съществува ортогонална координатна трансформация, така че матрицата на квадратното формата на новите координати е диагонал. Новата основа се формира от собствените вектори

Така че, за да донесе общото уравнение на каноничната форма необходимо

· Намерете ортогонална база от собствени вектори;

· Преместване в нов координатна система, в която матрицата е с диагонал квадратното част;

• Да се ​​извърши паралелно превод на произхода така че уравнението приет канонична форма (например, в центъра на горната повърхност).

По този начин, веригата управление на повърхност общото уравнение на каноничната форма е същата като за крива. Но има и някои разлики, например, когато собствената стойност на квадратното формата има множество по-голямо от 1. Нека разгледаме един пример.

Пример. Доведе до каноничната форма на уравнението на повърхността

Намери каноничната координатна система.

Пишем матрицата на квадратното част:

Характерните полином на тази матрица:

Корените му са собствените стойности.

Търсим собствени вектори.

За собствения вектор е системата от уравнения матрица на тази система:

По този начин, характерен вектор има посока нормализира му (разделете на дължината) и вземете първата нова база вектор

За собствени вектори са получени от уравненията на система матрица на тази система:

По този начин, собствените вектори, отговарящи на собствената стойност 0, образуват двумерен подпространствения ортогонален на вектора избираме всеки вектор на този подпространство, например нормализиране му (разделете на дължината) и да вземат като втори нов референтен вектор Една трета база вектор може да се намери, тъй като ще принадлежат подпространство собствени вектори образуват ортонормирана база освен положително ориентирани. И така

Ние се обръщаме към новата координатна система. Припомнете си, че старите координати, свързани с нови, както следва:

където - матрицата на преход към нова основа, колони са координатите на нова основа вектори в стария основа.

Заместник тези изрази в уравнението на повърхността. В квадратна част от заместител не е необходимо, съгласно добре известни теорема в основата на собствени вектори на квадратна матрица е диагонална, където диагоналните собствените стойности. Необходимо е да се замени тези изрази само в линейната част:

Това уравнение е параболичен цилиндър, но не е канонично. Ние трябва да направим още един въртене около оста, както е в равнината, ние избрахме най-базисни вектори по произволен начин, но те не бяха каноничен. Ротация около оста, определена от матрицата:

Така че, ние трябва да намерим ъгъл. на които ние трябва да направим революция. В общи линии, това се прави по следния начин. имаме

Така че, в нашия случай,

След последващо координатна трансформация

Да направим паралел превод

и ние се в новата координатна система канонично уравнение на параболичен цилиндър:

Сега е необходимо да се опишат с обща координатна трансформация, т.е. изразено от координати Припомнете си, че обратна ортогонална матрица съвпада с транспозиция. имаме

Така че, тази трансформация ни дава каноничен координатна система: неговото начало е най-координати. базисни вектори на новите координатните оси