Видове прекъснати точки
Непрекъснатост на функции: основни понятия и свойства
Определение. Да предположим, че в определен интервал, определен функция е (х) и Х0 - точка на интервала. Ако след това е (х) се нарича непрекъснато в точка x0 на.
От дефиницията следва, че последователността може да се говори само на тези точки, в които се определя е (х) (определяне на срока на функцията на такива условия не са поставени). За непрекъснатост, което означава, че F работа и пътуване до работното място. Следователно, двете дефиниции на граница на функция в точка може да даде две дефиниции на непрекъснатост - "на езика на последователности" и "на езика на неравенство" (на езика # 949 - # 948). Предлага се да направите това сами.
За използването понякога е по-удобно определение на приемственост в езика на стъпките.
стойност # 916 х = х Х0 се нарича увеличение на аргумента, и # 916; у = е (х) -f (x0) - функцията за увеличение в прехода от точка x0 към точка х.
Определение. Нека е (х), определен в точка x0 на. е (х) функция се нарича непрекъснато в точка x0 на. ако безкрайно нарастване на аргумента в този момент отговаря на безкрайно нарастване на функцията, т.е. # 916 у → 0. # 916 х → 0.
Пример 1. докаже, че у функция = sinx непрекъснато за всяка стойност на х.
Решение. Нека x0 - произволна точка. Даване на това което е увеличение # 916; х, получаваме точка х = x0 + # 916; х. След това. Ние получаваме.
Определение. у = функция е (х) се нарича непрекъснат вдясно точка x0 (вляво), ако
.
Функция непрекъснато на вътрешна точка ще бъде в същото време непрекъснато наляво и надясно. Обратното също е вярно: ако функцията е непрекъсната в ляво и дясно, то е непрекъснат в този момент. Въпреки това, функцията може да бъде непрекъснат само от едната страна. Например, за да ,, е (1) = 1, следователно, тази функция е непрекъсната само в ляво (виж графиката на тази функция. По-горе в параграф 5.7.2).
Определение. Функцията се нарича непрекъсната в интервал, ако е непрекъсната във всяка точка на този интервал.
По-специално, ако интервал е интервалът, че в краищата си се разбира едностранно непрекъснатост [, б а].
Свойства на непрекъснатост
1. Всички елементарни функции са непрекъснати в своята област.
2. Ако е (х) и # 966; (х), при предварително определен интервал, са непрекъснато в точка x0 на този интервал, след това в този момент ще също непрекъсната функция.
3. Ако у = е (х) е непрекъсната в точка x0 на X и Z = # 966; (у) е непрекъсната в съответната точка Y0 = F (x0) на Y, и съставната функция Z = # 966 (F ( х)) е непрекъсната в точка x0 на.
Пропуски функции и тяхната класификация
Вход непрекъснатост функция е (х) при x0 е равна, което предполага наличието на три условия:
1) е (х), определен в точка x0 на;
2);
3).
Ако поне едно от тези изисквания са нарушени, а след това x0 е точка на прекъсване. С други думи, критичната точка е точката, в която тази функция не е непрекъсната. От определението на точки за пробив това предполага, че прекъсването точки на функцията са:
а) точки, принадлежащи към областта на функцията, в която е (х) губи непрекъснатост собственост,
б) не точките принадлежащи към областта на е (х), които са в непосредствена близост до две точки пропуски домен на функцията.
Например, за точката на функция х = 0 е точката на прекъсване, тъй като функцията в този момент не се определя, и функцията има прекъсване в точката х = 1, която е в непосредствена близост до два интервали (-∞, 1) и (1, ∞) домейни е (х) не съществува (виж точка 5.7.2).
В е приета следната класификация за точки на почивката.
1) Ако крайната точка и са, но F (x0 0) ≠ F (x0 -0), след това x0 е точка на прекъсване от първи вид. в този случай се нарича функцията за скок.
Пример 2. Да разгледаме функцията
Разликата може да функционира само в точката х = 2 (в други точки е непрекъсната като всеки полином).
Ние намираме. Тъй като едностранни крайни граници, но не е равна на една от друга, точката х = 2, функцията на първия вид има празнина. Имайте предвид, че по този начин функция на този етап е непрекъсната с отдясно (фиг. 2).
2) точки на прекъсване от втория вид, посочен момент, в който най-малко един от сроковете е ∞ едностранно или не съществуват.
Пример 3. у функция = 01 февруари / х е постоянно за всички стойности на х, с изключение на х = 0. Намираме едностранни граници :, следователно х = 0 - точка прекъсване на втория вид (Фиг 3.).
3) точка х = x0 е точка на прекъсване за еднократна употреба. ако е (x0 0) = F (x0 -0) ≠ F (x0).
Gap "премахване", в смисъл, че е достатъчно да се промени (да разширят определението или замени) стойност на функцията в този момент, си и функцията ще бъде непрекъснато в точка x0 на.
Пример 4. Известно е, че тази граница е независим от аспирация х до нула. Но функцията при х = 0 не е определена. Ако се определи функцията чрез определяне е (0) = 1, тогава това ще бъде непрекъснато в този момент (в други точки е непрекъснат като отношение на непрекъснатост и sinx х).
Пример 5. Тест за непрекъснатост функция.
Решение. Функция у = 3 х и у = 2x определени и непрекъснато навсякъде, включително в споменатите междини. Ние проучи съвместно точка на интервала х = 0:
, , . Ние считаме, че, което означава, че точката х = 0 е непрекъснато.
Определение. Функцията е непрекъсната от другата страна на пропастта с изключение на краен брой точки на прекъсване от първи вид или сменяем прекъсване се нарича по части непрекъсната в този интервал.
Примери за прекъснати функции
Пример 1. Функцията определени и непрекъснато на (-∞, + ∞) с изключение на точката х = 2. Определяне на вида на прекъсване. От двете, точка х = 2 секунди за прекъсване (фиг. 6).
Пример 2. функция се определя и постоянно за всички X, с изключение на х = 0, където знаменателя е нула. Намираме едностранни границите на х = 0:
Едностранно граници са ограничени и различни, следователно, х = 0 - първата точка за прекъсване (Фигура 7.).
Пример 3. определят на какъв точки и какви пропуски има функция
Тази функция се определя на [2,2]. От 1 х 2 / х съответно непрекъснато в интервала [2,0] и [0,2], разликата може да бъде в пропуски възел, т.е. в точката х = 0. От тогава х = 0 е точка на прекъсване на втория вид.
Пример 4. Може елиминира прекъсвания функции:
а) в точката х = 2;
б) в точката х = 2;
в) при х = 1?
Решение. Пример а) веднага може да се каже, че F на празнина (х) при х = 2, не могат да бъдат премахнати, тъй като в този момент безкрайните едностранни граници (вж. Пример 1).
б) г функция (X) в краен едностранни ограничения в точката х = 2
но те не съвпадат, така че разликата също е възможно да се отстранят.
в) Функция # 966; (х) при х = 1, междина има равен едностранно крайни граници :. Следователно, разликата може да се елиминира чрез преосмисляне на функцията при х = 1, ако ние се е (1) = 1 вместо е (1) = 2.
Пример 5. Показване че функцията на Дирихле
непостоянен във всяка точка на реалната ос.
Решение. Нека x0 - всяка точка (-∞, + ∞). Във всеки квартал има място както рационално и ирационално точка. Следователно, във всеки квартал x0 функция ще имат стойности 0 и 1. В този случай, не може да има лимит функция в точка x0 нито наляво, нито надясно, след Дирихле функция във всяка точка на реалната линия има прекъсвания на втория вид.
Пример 6. Виж точката на прекъсване
и определяне на вида им.
Решение. Точките на предполагаеми руптура точки са x1 = 2, Х2 = 5, x3 = 3.
В точка x1 = 2 Е (х) има втори прекъсване цел, тъй
.
Точка х2 = 5 приемственост точка, тъй като стойността на функцията на този етап и в близост до него, се определя от втора линия, вместо първия :.
Разглеждане точка х3 на = 3 :, което означава, че х = 3 - първият вид брейк пойнт.
За независими решения.
За да се изследва функцията да се определи вида на приемственост и прекъсване точки:
1); Отговор: х = -1 - подвижен точка прекъсване;
2); A: Gap втория вид в точката х = 8;
3); Отговор: Първият вид на почивка в х = 1;
4)
A: В точка X1 на = -5 сменяем прекъсване в х2 = 1 - втори прекъсване цел в точка X3 = 0 - първо за прекъсване.
5) Как да изберете номер A, функцията
Това ще бъде непрекъснато в х = 0?
Отговор: А = 2.
6) Възможно ли е да изберете броя на А, така че функцията
Това ще бъде непрекъснато в х = 2?
Отговорът е не.
При един функция у = е (х), и две аргумент стойности X1 и X2. Изисква: 1) се установи дали функцията е непрекъсната или прекъсната от стойностите на данни на аргумента; 2) в случай на счупване да се определи каква е; 3) всички аргументи, за да оправдае.
, X1 = 1, х2 = 3
решение:
а)
Опън краен и равен брой. Ето защо, в точката x1 е непрекъснато.
б)
Ограничението в точка х = 3 съществува. Следователно, в този момент функцията има прекъсване. Тъй като една от границите е безкрайна, а след това на мястото на прекъсване на втория вид.