Серията хармонична - studopediya

Необходимо условие за сближаването на серия.

Намирането на н-ти частична сума и лимита си за произволна поредица в много случаи е предизвикателство. Ето защо, за да се определи на сближаването на конвергенция установят специални функции. Първият от тях, като правило, е необходимо условие за обединяване.

Теорема 1. Ако серията (1) клони, след това си общ термин клони към нула, т.е.. E.

Доказателство: Да предположим, че поредицата (1) клони. След това (и кога). Като се има предвид, че ние получаваме

Следствие 1 (достатъчно условие за редица различия). Ако това ограничение или не съществува, а след поредицата се отклонява.

В действителност, ако серията клони, а след това (от теорема). Но това противоречи на хипотезата. Следователно, серия отклонява.

Пример 2. Тест серия клони.

Решение: Редица шансове, тъй като

т. е. достатъчно условие на редица различия.

Пример 3: Да се ​​проучи сближаването на

Решение: Тази серия се отклонява.

Теорема 1 дава необходимо условие за сближаване на поредицата, но не са достатъчни: условието не означава, че серията клони. Това означава, че съществуват различни серии, за които.

Като пример, помислете за т.нар хармоничните серии

Очевидно е, че. Въпреки това, броят (7) се отклонява. Ще покажем това.

Известно е, че. Това означава, че за всяко неравенство. . Логаритмуване на това неравенство стигнем до базовата д:

Заместването в неравенството получено алтернативно п = 1, 2, ..., п - 1, п, ние получаваме:

Добавянето на тези неравенства срок от термин, ние получаваме Тъй като ние получаваме т. Е. хармонично серия (7) се отклонява.

Като втори пример може да отнеме няколко

Тук. Въпреки това, тази серия се отклонява.

т. д .. Следователно, серия отклонява.