Образователен портал на ТСУ

Модул 3 се състои от две лекции, в които по следните въпроси:

1. Кинематика и твърдо вещество.
2. кинематика,
3. Въведение в кинематиката.
4. Методи за определяне точка движение.
5. Вектор скорост на точка.
6. Точките на векторни ускорение.
7. Определяне на скорост и ускорение на точката, в метода координатната движение точка задача.
8. Тангенциална и нормално точка ускорение.
9. Някои специални случаи на движение на точка.
10. Транслацията и въртеливо движение на твърдо тяло.
11. Транслационно движение.
12. Въртеливо движение на твърдо тяло около ос.
13. Ъглова скорост и ъглово ускорение.
14. Униформа и ravnoperemennoe въртене.
15. Скорост и ускорение на ротационни точки на тялото.

Изучаването на тези въпроси трябва да бъдат допълнително с динамиката на движението на частиците, динамика на относителното движение на точката, на динамиката на въртеливото движение на една точка, за решаване на проблеми в дисциплините "Теория на механизмите и машините" и "Машинни части".

Кинематика и твърди

Въведение в кинематиката

• Наречен кинематика клон на механиката, че изследванията на геометрични свойства на движението на тела без оглед на тяхната инертност (маса) и силите, които действат върху тях.
• При движението, ние разбираме, механиката на климата, с течение на времето положението на тялото в пространството по отношение на други органи.
• За да се определи позицията на движещото се тяло (или точки) в различни пъти с тялото, в сравнение с което движението се изучава неподвижно свързва всяка координатна система образуващи заедно с рамката на тялото на справка.
• ние представлява опорния кадър под формата на трите оси (без показване на тялото, с които те са свързани).
• Движението на телата в космоса е направено във времето. Пространството в механиката, ние смятаме, как тримерното евклидово пространство.

Време е скаларна, непрекъснато се променя величина. Задачите на кинематиката време тон се разглежда като независима променлива (аргумент). Всички други променливи (разстояние, скорост и др. Г.), се считат за промяна на времето т, д., Като функция на времето т.

За да реши проблемите на кинематиката, че е необходимо да се проучи движението беше някак си настроите (описан).

Кинематографично зададете движение или движението право на тялото (точки) - означава да се уточни позицията на тялото (точки) по отношение на дадена референтна система в даден момент.

Основната задача на кинематиката и твърдо е да се знае закона на движение на точките (тяло), за създаване на методи за определяне на кинематичните количествата, характеризиращи това движение.

Методи за определяне на движението на точка

един от следните три метода може да се използва за задаване на движението на точка:

1) вектор, 2) координира, 3) естествено.

1. Vector метод за определяне на движението на една точка.

Нека точката М се движи по отношение на референтната система Oxyz. Позицията на тази точка по всяко време може да се определи чрез определяне му радиус вектор R, съставена от О произхода на точка М (фиг. 1).

Тъй като точка М, векторът ще се променят с течение на времето и в сила и посока. Следователно, променлив вектор (функцията вектор) в зависимост от аргумент т.

Равноправието определя правото на точки за движение във форма вектор, тъй като позволява по всяко време да се изгради подходяща вектор и да намерят позицията на движеща се точка.

Мястото на всички вектори т. Е. Hodograph на вектора, определя траекторията на движещ точка.

2. Запитването координира движението точка начин.

Позицията може директно да бъде определено това точка разделяне на декартови координати X, Y, Z, който, когато се движи точка ще варират с времето. За да знаете закона на движение zheniya точка т. Е. Неговата позиция в пространството във всеки даден момент, е необходимо да се знае стойностите на координатите на всеки един момент, т. Е. В зависимост ноу

Формулите са уравнения на движение на точка в декартови координати. Те определят правото на движение на точката с метода на координиране на задачи за движение.

3. естествен начин да се дефинира точка движение.

Естествен начин за задачи за движение е удобно да се използва в случаите, когато траекторията на движеща се точка е известно, по-рано. Нека кривата AB е траекторията на М тъй като тя се движи спрямо Oxyz на рамката (Фигура 2) Ние избираме този път някои фиксирана точка O ', която се приема като отправна точка, и разположен на траекторията на положителните и отрицателните направления на препратка (както на координатната ос). След това позицията на точка М на траекторията на криволинейна координатна-Ната е еднозначно определена от S, което е равно на разстоянието от точка О 'на точка М, измерена по дължината на дъгата на траекторията, и взети с подходящ знак.

При преместване на точката М се премества в позиция М1, М2. Следователно, на разстояние S, ще варира с времето.

За да знаете позицията на точка M по пътя по всяко време, е необходимо да се знае зависимостта

Уравнението изразява закона за движение на точка M по една пътека.

Вектор скорост на точка

Една от основните характеристики на точката на кинематична движение ЛИЗАЦИЯ е векторна величина, наречена точка на скоростта. За първи път се въведе концепцията за средната скорост на точката за известен период от време. Нека движещата се точка е

в момент на позиция М, определен от радиус вектор R, и t1 време е в положението, определено от вектора M1 (Фигура 3). Тогава движението на точката по време на интервал от време, определен от вектора, които ние наричаме вектор на движението точки. вижда от OMM1 триъгълник, който; Ето защо.

Съотношението на вектор за движение на точките на съответния интервал от време осигурява количество вектор, наречен медиен-модул скоростта и посоката точки в интервала от време.

Оценка точка в даден момент т е вектор стойност V А, която има тенденция да средна скорост Вав интервал клони към нула:

Така скоростта вектор от точка в даден момент е равна на първата производна на вектора на радиус на момент от време.

Тъй като ограничение сечащ посока MM1 е допирателна, векторът скорост на точка в даден момент е насочено по допирателната към траекторията на една точка по посока на движение.

Точките на векторни ускорение

Ускорение точка е количество вектор, който се характеризира промяната над единица време и посока на точките на скоростта.

Да предположим, че в определен момент т движещата се точка е в положение M и има скорост V, и t1 време е в позиция на М1, и има v1 скорост (фиг. 4). След това, по време на интервал от време скоростта на нарастване точка. За да се конструира вектор от точка М отложи вектор равна v1 и изграждане на успоредник, където диагонал е страничен. След това, разбира се, другата страна ще бъде представена от един вектор. Имайте предвид, че векторът е винаги насочено към арабин-nutosti траектория.

Съотношението на нарастване на вектора на скоростта, съответстваща на интервал от време определя средната ускорение вектора на точка за интервала от време:

Средна вектор ускорение има същата посока като вектор, т.е.. Е. насочени към вдлъбнатината на траекторията.

Ускорение точка в даден момент т е количество вектор, който има тенденция да средното време на ускорение интервал клони към нула: векторни ускорение точки в даден момент е равна на първата производна на вектора на скоростта или на втората производна на вектора на радиус на момент от време.

Ние намираме, като местоположението на вектора по отношение на траекторията на точката. В праволинейни вектора на движението е насочено по права линия, по която се движи точка. Ако траекторията на кривата на равнинна, вектор ускорение, както и векторът се намира в равнината на кривата и насочено към нейната вдлъбнатина. Ако кривата траектория не е плосък, векторът сочи към вдлъбнатината на пътя и лежи в равнина, минаваща през допирателната към траекторията на точка М и линия, паралелна направо на допирателната към съседен точка M1 (фиг. 4). В краен предел, когато точка M тенденция да M, този самолет в позицията т.нар допирателна равнина; равнина, в която има безкрайно въртене допирателна към траекторията на едно елементарно преместване на движещата се точка. Следователно, обикновено вектор ускорение лежи в равнина допирателна и насочена към вдлъбнатината на кривата.

Определяне на скорост и ускорение в точката на референтна координатна метод движение

1. Определяне на точката на скоростта. вектора на скоростта на точката, при положение, че ние намираме:

Така скоростта проекция на точка на координатните оси са равни на първа производно на съответните координати на точки от време.

Знаейки проекция на скоростта намери големина и посока (т.е., ъгли, които образуват вектор V с координатните оси) с формули

2. Определяне на точката на ускорение. Точките на векторни ускорение в проекцията на ос, които получаваме:

т.е. ускорение проекция точка на координатната ос, равно на първата производна на скоростта на издатъците или втората производна на съответните координати на точки от време. Големината и посоката на ускорение са открити от формулите

където - ъгълът, образуван от вектор ускорение с координатните оси.

Така цифровата стойност на скоростта на точката в този момент е първата производна на разстояние (криволинейни координатите) на S точка във времето.

вектора на скоростта се отнася по допирателната към пътеката, която известни предварително.

Тангенциална и нормално точка ускорение

С естествено движение процес задача вектор се определя от издатини си в М п б ос. с начало в точка М и се движат заедно с него (фиг.5). Тези оси са наречени природен тристените оси (или оси на скоростта), насочено следва: ос - по допирателната към траекторията в положителен позоваване разстояние S; ос М п - нормално лежи в равнина, допирателна и насочена към вдлъбната крива; ос М п - перпендикулярна на първата двете, така че да ги оформена с дясна ръка. Нормално Мп. разположена в допирателна равнина (в равнината на самата крива, ако кривата е плосък), наречен основен нормално и перпендикулярно към него нормална М б - binormal.

Доказано е, че точката за ускорение се крие в допирателна равнина, т.е. в равнина ..; Следователно, проекцията на вектор binormal е нула ().

Изчисляваме проекцията на другите две оси. Да предположим, че в точка от времето т се намира в положение M и скорост V, миг пристига в позиция М1 и има v1 скорост.

След това, по дефиниция,

Работи се в това уравнение от вектори на техните проекции върху оста, проведени в точка М (фиг.5). Тогава въз основа на теоремата на проекция сума (или разликата) на векторите за получаване на ос:

• Като се има предвид, че проекцията на вектора на същите паралелни оси, през точката M1 оси паралелно и означават ъгълът между вектора посока и допирателната чрез. Ъгълът между тангентата към кривата на точките М и М1 наречен ъгъл близост.
• Припомнете си, че ъгъл граница близост отношението на дължината на дъгата на определя кривината к на кривата в точката М. кривината е реципрочната стойност на радиуса на кривината в точката М. Така,

• Обръщайки се сега към теглещото (Фигура 6), ние откриваме, че проекциите на вектори и са равни ос,

където V и v1 - цифровата стойност на точката на скорост в моменти т и t1.

Имайте предвид, че точката M1 безкрайно близо до М и в същото време.

След това, като се има предвид, че в рамките на ограничението, ние получаваме израз

Дясната ръка на израза AN трансформира така, че да включва връзката, след което ние сме известни. За да направите това, умножете на числителя и знаменателя на фракцията под знака за ограничение на. Тогава ние имаме

като границите на всеки от факторите в скоби са когато:

Така ние показахме, че проекцията на точката на ускорение на допирателната равна на първата производна на цифровата стойност на скоростта или на втората производна на разстоянието (криволинейни координати) Няма време и проекцията на ускорение на основната нормално е равна на квадрата на скоростта разделен на радиуса на кривината на траекторията в дадена точка на кривата; binormal проекция ускорение е нула (AB = 0). Тези резултати го прави един от най-важните теореми на кинематика предлагаме.

Отлагане по допирателната и основните нормални вектори и Mn, и числено равно на (фиг. 6). Тези вектори представляват допирателната и обичайните компоненти на точката на ускорение. Когато този компонент е винаги насочени към вдлъбнатината на кривата (стойността на "винаги е положителен) и компонент може да бъде насочена или в положителна или отрицателна посока в зависимост от оста на маркировката за проекция (вж. Фиг. 6а и б).

вектор ускорение е представена от диагонал точка на успоредник конструирана на компонентите и. Тъй като тези компоненти са взаимно перпендикулярни, МО:

Някои специални случаи на движение на точка.

Използване на получените резултати, ние считаме, някои особени случаи на движение на точка.

1. права. Ако точките на пътя, е права линия, а след това. Тогава всички точката на ускорението е равно на едно единствено тангенциално ускорение:

Тъй като в този случай скоростта се променя само числено, ние се заключи, че допирателната характеризира степента на ускорение на промяна на цифровата стойност.

2. униформа криволинейно движение. Uniform нарича криволинейно движение на една точка, в която числената стойност на скоростта остава постоянна през цялото време:

V = конст. Тогава всички точката на ускорението е равно на едно нормално:

вектор ускорение е насочено в същото време всички нормалата към траекторията на точката.

Тъй като в този случай ускорението се появява само чрез промяна на посоката на скоростта, ние заключаваме, че ускорението характеризира със скоростта на промяна на посоката. Ние считаме, правото на еднакво криволинейно движение.

От формула имаме.

Да предположим, че в началния време (т = 0) е точката от произхода в s0 региона. След това, като на разстояние от лявата и дясната страна на определени интеграли в подходяща степен, да получат

тъй като V = конст. Най-накрая се намери правото на еднакво криволинейно движение под формата

Ако s0 = 0, тогава и ще даде пътя пресича от точката от време, т. Следователно, по време на единна пътя движение пресича от точката на пропорционалното изчисление на времето, на пътя движение по отношение на скоростта е равна на времето

3. равномерно праволинейно движение. В този случай, и следователно = 0. Имайте предвид, че само движението, в което ускорението на точката е нула през цялото време, еднакво линейно движение.

4. Ravnoperemennoe криволинейно движение. Ravnoperemennym нарича криволинейна движение на точка, при която тангенциално ускорение се поддържа постоянна :. Ние търсим закона за движение, като се предполага, че в т = 0

S = S0, и V = v0, където v0 - начална скорост точка. Според формулата имаме.

Тъй като след това, като от двете страни на последното равенство неразделна до подходящата степен, получаваме:

Формула може да бъде представена като

Втори интегриране, ние откриваме закона ravnoperemennogo криволинейно движение на точка

Ако криволинейна движението на точката на увеличения модул на скоростта, движението се нарича ускорение и намалява ако - забавено.