Криви от втори ред - studopediya

Втората крива цел е линия в равнината описан от уравнението на втора степен в променливите х и у. т.е.

където - са константи.

В зависимост от стойностите на коефициентите на втората крива графиките за кръгове, елипси, параболи и хиперболи.

В каноничен уравнението на окръжност с център в точката и радиус R, има формата

Всяка форма уравнение (2.4.1) на стойностите на коефициентите на равнината определя кръг и може да бъде представен като (2.4.2).

Характерни свойства на кръга: всички точки периферно отстранени от един, наречени центъра на същото разстояние равно на радиуса R.

Пример 2.4.1. Намерете координатите на центъра и радиуса на кръга

Решение: изберете в уравнението на добра площади в променливо

- Получихме уравнението на формата (2.4.2). Следователно, координатите на центъра на кръга. и радиуса # 916;

В каноничен уравнението на елипсата е дадено от

Всяка форма уравнение (2.4.1) със стойностите на коефициентите определя елипса равнина и може да бъде представен като (2.4.3). Числата се наричат, съответно, най-големите и второстепенни оси на елипсата. И точка. къде. Те призоваха фокусите на елипсата. Точките се наричат ​​върхове на елипсата.

Характерните собственост на елипса: за всяка точка на елипсата сумата от разстоянията на тази точка до огнища е константа, равна 2а.

Пример 2.4.2. Създаване на линия уравнение, минаваща през фокуса и долния десен връх на елипсата.

Решение: ние представляваме уравнението във формата (2.4.3)

Следователно - параметрите на елипсата, точката - прав фокус, и - по-ниската върха на елипсата.

Фиг. 7. елипсата и линията

Вие права линия минава през точките и. Следователно е възможно да се намери уравнението с формула (2.1.3)

По този начин, линията, минаваща през фокуса и долната дясна част на върха на елипсата има уравнението # 916; ,

Canonical уравнение хипербола е на формата

Всяка форма уравнение (2.4.1) със стойностите на коефициентите определя хипербола равнина и може да бъде представен като (2.4.4). Числата се наричат, съответно, реално и въображаемо оста на хипербола. И точка. къде. Те призоваха фокусите на хипербола. Точките се наричат ​​върхове на хипербола. Директен определя от уравненията. е асимптота на хипербола.

Характерни свойства на хиперболата за всяка точка на разликата в хипербола разстояние до този момент огнища в абсолютна величина е константа, равна на 2a.

А уравнение хипербола се нарича или конюгиран с хипербола с формула (2.4.4) има същото аксиално правоъгълника и асимптота, но пресича оста OY и огнища в точките лежи на оста OY.

Пример 2.4.3. Изграждане на хипербола и намери разстоянието от върха на асимптоти на хипербола.

трансформиране на уравнението на каноничната форма (2.4.4)

Следователно ,. Construct аксиален хипербола правоъгълник - правоъгълник, чиито страни се определят от уравненията. Tops хипербола - точка. - хипербола трикове. Правоъгълник диагонално - прав - асимптота хипербола.

Фиг. 8. хипербола

Тъй като хипербола е симетрична по отношение на говедото на оси и OY, че разстоянията от върховете на асимптоти да съвпадат един с друг и равни по формула (2.1.11) разстоянието от точката на правата линия (или - уравнението на един от асимптоти на хипербола)

Canonical уравнение на парабола. минаваща през произхода и е симетрична около говедото на ос, има формата

Броят се нарича параметър на параболата. връх е координатната произхода е на фокус. Директорка на параболата е уравнението. Всяка форма уравнение (2.4.1) със стойности на коефициентите определя парабола равнина и може да бъде представен като (2.4.5).

Характерни свойства на параболата за всяка точка от параболата на разстоянието от тази точка до фокуса и да направляващата равен.

описва парабола симетричен по отношение на OY на ос.

Пример 2.4.4. Създаване на каноничното уравнение на парабола, чийто връх се намира в произхода и, че да минава през точката. ОХ - оста на симетрия.

Решение. ако парабола симетрично спрямо оста ОХ и връх - в основата, каноничната уравнение е уравнение на формата (2.4.5)

Тъй като точката принадлежи на парабола, нейните координати удовлетворяват уравнението на параболата. по този начин,

Canonical уравнение на парабола

Задача 1. Определяне на кореспонденцията между кривите и линиите на уравнения:

Задача 2. Определяне на съответните уравнения на параболи и да координират своите върхове:

Задача 3. Construct елипса уравнение и една права линия, минаваща през горния ляв връх и във фокуса на елипсата.

4. Изграждане Проблем хипербола, един от фокусите на която е точката с координати (24, 0) и уравнението на един от асимптоти. Намерете разстоянието от фокусите на хиперболата да асимптотата.

Задача 5. Постройте парабола с уравнението

Намерете координатите на върха, фокуса, директриса уравнение.