координатна трансформация

Матрицата определяне линейна трансформация зависи от база. Ние ще покаже каква е връзката между матрицата дадени в различни бази една линейна трансформация.

Предвид с преход матрица Т основа Е, Е ':

Да предположим, че φ се дава чрез линейна трансформация в тези бази матрици А и А ', съответно:

(Te) φ = T (eφ) = Т (AE) = (ТА) д; А "(Te) = (a't) д; т.е.

Ако най-малко една аз = 1 ... п-тото ред ТА ще бъде различен от изо-ия ред a't на две различни линейни комбинации на векторите Е1, Е2, ..., самостоятелен са равни помежду си, което противоречи на линеен независимостта на база д ,

Следователно TA = a't, където (от Т е неособена матрица)

А '= TAT ^ 1; А = T ^ -1 * А '* T

Забележка: матрица В и С са подобни, ако C = Q ^ -1 * B * Q, матрицата С се получава чрез преобразуване матрица B матрица Q

Матрицата, определяне на същата линейна трансформация в различни бази, са подобни една на друга. Матрицата на линейна трансформация в база φ Е ", получени чрез трансформиране на матрица на база превръщане матрица д преход от изходното ниво е" на основа напр.

Пример. Намерете матрицата преход

Решение. Човек може да се опита да намери елементите на матрицата директно - установяване на комуникация между редовете на формула. В този конкретен пример, че не е много трудно да се направи - първата и четвъртата колона на матрицата на всички очевидни, тъй като. Но ние следваме официално маршрута и използването на матрицата определящи отношенията, които имаме доказателство за предишната теорема. Поставяме координатите на базисни вектори в колоните на съответните матрици:

В нашия пример имаме:

Новите координатите се изразяват по отношение на старата формула

Матрицата може да се тълкува като матрицата на прехода от стария към новия основа.