Джон геометрия

§ 13. централен ъгъл. Измерване на ъгли.

1. Централният ъгъл.

Централният ъгъл е ъгълът, образуван от два радиуса на същия кръг.

/ АОВ - централна (Фигура 90.). Arc AB се нарича съответния централен ъгъл АОВ.






Пълна ъгъл съответства на цялата обиколка.
Внедрена ъгъл съответства на дъга, равна на половината от обиколката.
Прав ъгъл съответства на дъга, равна на 1/4 от обиколката.

Teorema.Esli в същия кръг на две централен ъгъл са равни, равен, съответната дъга.

Нека да докажат това. Обърнете кръг, тя ще се изгради две равни централен ъгъл (фиг. 91). Нека / AOB = / COD. Въртене / AOV около центъра О, това е възможно да го комбинирате с ъгъл на треска, тъй като тези ъгли са равни помежду си (това състояние се приема от нас). Ако ъглите AOB и COD съвместим с оглед на равнопоставеността на радиусите и уеднаквяване на краищата на дъгите AB и CD. (Точка А в съответствие с точка D, и точка Б подравнява с точка С) Следователно се дъга АВ и CD приведе, тъй като всички точки на дъгите са на еднакво разстояние от центъра, г. F. AB = CD.

Нека да докаже теоремата разговаряте.

Теорема. Ако един и същи кръг две дъги са равни, равни и съответните централни ъгли.

В действителност, тъй като дъгата е дъгата AB CD (фиг. 91), на дъгата AB, плъзгащи се по периферията може да се комбинира с дъга CD, точките А и В, съответно, приведе в съответствие с точките D и С. Обаче, в този случай, радиусът OD ОА в съответствие с радиус, и OB радиус подравнени работи радиус г. е. под ъгъл равен на ъгъла АОВ COD.

Тези две теореми са валидни при равни кръгове.

Втората теорема се нарича обратна на първата, защото първата теорема доказва равенството на дъги, ако равни централен ъгъл, през втората теорема, а напротив, ние се докаже, че централните ъгли, ако равни дъги.

2. Измерване на ъгли. Степени на дъга и ъгъл.

Сравнявайки ъгли на величина, ние се отбележи, че ъглите могат да бъдат равни или неравни. Ъгълът може да бъде равна на пряка по-директен, по-малко Direct. Въпреки това, той ни дава приблизителна представа за големината на ъгъл. Остри ъгли, като тъп, могат да се различават значително един от друг.

За да се определи по-точно размера на ъгли, се използват специални мерки за дъги и ъгли.

За измерване на сводовете са дъгови градуса, а за измерване на ъгли - ъгли.

Arc степен или степен на дъга, наречена обиколка на 1 / 360chast
(Фиг. 92).

Степен дъга, от своя страна, е разделен на 60 равни части, наречени дъгови минути, и след минута се разделя на 60 равни части, наречени дъгови секунди.

Ако дъгата е, например, 25/360 кръг, казват дъга се състои от 25 градуса. Означени по този начин: до 25 °. Ако дъгата съдържа 25 градуса 40 минути и 15 секунди, то се изписва по следния начин: 25 ° 40'15 ".

Всяка степен на дъга, съответстващи на централния ъгъл (фиг. 92), който се нарича ъгловата степен. Ето защо, между броя на ъглови градуси на централния ъгъл и броя на дъга градуса съответната му дъга съществува съвпадение: брой дъгови градуса включва дъга от централния ъгъл, същия брой ъглови градуси съдържа съответстващ на ъгъла на дъгата център, както и обратното, колко ъглови градуси състои от централна ъгъл, същия брой дъгови градуса съдържа централния ъгъл на дъгата. Ние казваме, че централната ъгъл се измерва с дъгата, на които тя разчита.

Фигурата 93 показва две централен ъгъл.

3 съдържа първа дъга °, същото количество ъглови градуса и се състои от централен ъгъл. Вторият съдържа централен ъгъл 8 °, същия брой дъгови градуса, и съдържа съответната дъга.

Тази кореспонденция между броя на ъглови градуси на централния ъгъл, а броят на степените на дъгата на дъгата, съответстваща на това ще бъде възможно да се измери ъглите и да ги изгради.

Ъглови степен съставен 1/360 част от общата ъгъл. Тъй като пълни ъгли са равни, то ъглови градуси са равни.

Unwrapped ъгъл от 180 градуса шестдесетичната, прав ъгъл е равен на 90 ъглови градуса. В противен случай: ъглов степен е 1/180 част от прав ъгъл, или 1/90 от дясната част ъгъл.

Степен ъгъл като дъга, разделен на 60 равни части, наречени минути, което от своя страна също е разделен на 60 равни части, наречени секунди.

Диаметърът на Луната се вижда около себе си под ъгъл от 30 '. Човешкото око може да види само обекти, които са под ъгъл от повече от 1 ". Затова грах на разстояние 1 км не е видима за човешкото око, защото ъгъла на виждане в този случай е по-малко от 1 ".

Всички ъглови градуси са равни, но това не е степените на дъгата (фиг. 94). дължина Degrees дъга варира в зависимост от дължината на радиуса.

Колкото по-голям от радиуса на кръга, толкова повече степени на дължината на дъгата. Така например, дължината на дъга градуса наземна меридиан (или екваториална) се намира на около 110 km.

Arc градуса са само в един кръг и в равни окръжности.

За измерването на ъгли, както и за изграждане на ъглите съществува устройство, наречено транспортир (фиг. 95).

Тя се състои от една линия, към която полукръг. Център на полукръг е леко нарязани или докосване на полукръг с диаметър.

Дъгата на полукръг разделена на степени от 0 до 180 °.

4. Измерване на ъгли с помощта на транспортир.

Измерване на ъгъл с транспортир следва.

Да предположим, че искате да измерите / ABC (фиг. 96).

Ние правим този централен ъгъл. За това е съвместимо с горната част на центъра на транспортир / ABC (до точка Б). Насочете диаметъра на едната страна на транспортир / АВС
(На слънцето), а от друга страна ъгъл показва колко градуса дъгата съдържа измерената ъгъл. В този случай, че съдържа 52 ° следователно / ABC е равно на 52 ъглови градуса. На фигурата 97 показва измерването на ъгъла на БПЦ тъпият. ъгъл ВОС е 120 °. Се записва така: / ABC = 52 °, / ВОС = 120 °.

5. Изграждане на ъгли с помощта на транспортир.

Да предположим, че е необходимо да се изгради ъгъл 50 ° по своя връх на Г и подадена на страничната OB. Съвместим транспортир център точка О. По този начин, на ъгъла който строим, направете центърът.

Директно диаметър транспортир права OM (фиг. 98) и четене на правото на транспортир дъга от нула до 50 °. Ние предоставяме до 50 ° С и точка на това свързване с точка на О (ъгълът). Ние се получи желаният / CoV, равен на 50 °.

Ако ние не директен дал и не е уточнено, което е трябвало да бъде в горния ъгъл, а просто заяви: да се изгради под ъгъл от 125 °, първият ще извършим произволен ред и някъде по него да вземе точка O, която се приема като връх на ъгъла, и по този начин по същия начин ние изграждане на желания ъгъл.

6. ъгъл разделението Приблизителната на две равни части.

Ъгъл може да бъде разделен на няколко равни части с транспортир. За тази цел е необходимо да се измерва ъгъла, броят на степените на ъгъла разделен от този брой части и изграждане на необходимите ъгли.

1. Какво ъгъл на минута и час ръце в 1:00 след обяд (2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 часа)?

2. Начертайте прав ъгъл с транспортир. Прекарайте в него от върха му лъч. Измерена отделно / 1 и / 2, намери сумата им. Изчислява се процентът на грешката спрямо прав ъгъл (90 °).

3. Измерете ъглите на фигурата, поставен в изготвянето 99, и да намерят тяхната сума.

4. Мярка ъглите на фигурата, поставен в изготвянето 100, и да намерят тяхната сума.

5. Изграждане различни ъгли и ги разделят от 2, 3, 4, 5 еднакви порции с транспортир.

За измерване и изграждане на ъгли в терена са специални устройства, наречени транспортир. Най-простият на тези устройства е астролаба, неговата опростена схема даден на фигура 101.

Основната част е астролаб кръг (крайник) с деления от 0 до 360 °. На оста, минаваща през центъра на кръга, засадени с метална или дървена линийка, така че да може да се върти около оста си. В края на линията два диоптъра, които се използват да се определи линия за определена позиция. Един диоптъра наречени поглед стъклено око, има тесен вертикален прорез. В друг диоптъра слот по-широка, тя е настроена вертикално коса или тънка жица. Това се нарича диоптър темата. Линия с диоптри нарича алиада. Външните ръбове са скосени алиада, и те са указатели (инсулти или издатини) за референтната разделянето на кръга.
Цялата апаратура е монтирана на статив.

За кръг астролаб (крайник) е взел хоризонтално положение, което е важно за точност при измерване на ъгли, се използва специално устройство, наречено ниво (фиг. 102).

Основната част от нивото е стъклена тръба, затворена в двата края. Тази тръба се запълва с алкохол или етер; Освен това, епруветката се оставя малка балон на въздух. Когато постави върху хоризонтална равнина ниво, въздушното мехурче ще бъде в средата на тръбата; ако равнина не е хоризонтален, а след това на въздух балон ще се премести към единия край на тръбата. Ниво е разположен на крайника най-малко в две различни посоки. По този начин, чрез наблюдение на позицията на въздушен балон, е възможно да се установи дали тази хоризонтална равнина, или тя ще има пристрастия в една или друга посока.

За по-голяма трайност и лекота на ниво устройство телефон е метална конструкция, която остави малък прозорец за наблюдение на позицията на въздушен балон. Ниво засилен върху метална плоча. Понякога повърхност астролаб колело, свързан твърдо две нива в различни napravleniyax.

Приложимо ниво и като самостоятелна единица, с която можете да проверите Равните височини всеки самолет или права линия.

При извършване на строителни работи ниво често се използва вместо на по-опростена устройство, наречено нивелир (фиг. 103). Тя се състои от две дървени летви, свързан под прав ъгъл. На една от лентите висящи кабел с малко тегло (отвес).

В случай на хоризонталното положение на регистриран отвесна равнина съвпада с ремъка, когато не проверими хоризонтална равнина, отвес се отклонява от тази посока (фиг. 104).

9. Ъгъл измерване използване астролаб.

Да предположим, че искате да измерите АТБ ъгъл на терена (фиг. 105).

А ъгъл връх (точка В) бележка клин дълго 25-30 см, с астролаб статив поставя над точка С, така че отвеса суспендира от центъра на кръга, разположен точно над клин стърчаща от земята, и астролаб кръг равнина е хоризонтална.

След това алиада е разположен така, че неговата позиция съвпада с един от CA или CB области, като посоката на SA. Първоначално зададете алиада за очите, а след това погледнете в тесния процеп на диоптъра на очите, за да преместите алиада докато косата на обекта диоптър затваря обект А. След този момент разделението кръг, срещу което е указател към един от двата диоптъра.

Тогава алиада определя посоката на NE и празнуват кръг дивизия, срещу която е указател към една и съща диоптъра.

Броят на разликата и дава на ъгъла между СА и С, т. Е. АТБ на ъгъл (фиг. 106).
Ако показанията на А и В ще бъдат на противоположните страни на нула, тогава ъгълът може да бъде определен на противоположната етикети алиада.
Гореописаният устройството осигурява малка точност.

За да се подобри точността на измерване с помощта на по-сложни инструменти. На фигурата 107 показва едно от тези устройства (теодолит).

1. При измерването на ъгъла чрез астролаб получи показанията 25 ° и 75 °. Какво е измерената ъгъла?

2. При измерване на ъгъла използване на показания, получени астролаб 35 ° и 340 °. Какво е измерената ъгъла?