максимални и минимални функции - studopediya

Точка x0 се нарича maksimumafunktsii точка у = е (х) ако съществува # 948; - съседство на x0, че за всички х ≠ x0 на този квартал неравенството е (х)

По същия начин ние определяме минималната точка на функцията: x0 - tochkaminimumafunktsii ако. Фигура 8 X1-минимална точка и точката х2 - максимална точка на функция у = F (х).

Стойността на функция на максималната точка (минимум на мини) е висок (или ниско) функция. (Минимум) Функцията се нарича максимална etsya екстремум функция.

Идеята за екстремум винаги е свързано с определен квартал на мястото на домейна на функцията. Следователно, функцията може да има само един екстремум във вътрешната tochkahoblasti определение. Да се ​​проучат условията на съществуване-ционни екстремни функции.

Теорема (необходимо условие за екстремум).

Ако диференцируема функция у = е (х) има екстремум в точка x0 на, истина, че неговото производно в този момент е нула: F '(x0) = 0.

Геометрично уравнение F '(x0) = 0 Ozna-chaet че екстремум точка ми-диференцируема функция у = е (х) е допирателна към неговата графика-ку успоредна на оста Ox (вж. Фиг. 9).

Имайте предвид, че обратната теорема е лъжа, това е, ако е '(x0) = 0, това не означава, че x0 - .. Extremum точка. Например, за функция у = х 3 негово производно

Y '= 3 2 е равна на нула при х = 0 до х = 0 е точка Екстремален (вж. фиг. 10).

Има функции, които са екстремум точки не са деривати. Например, една непрекъсната функция в = | х | в точката х = 0 не е производно, но точката х = 0 - минимална точка (вижте Фигура 11 ..).

По този начин, непрекъсната функция може да има екстремум само на места, където производното е нула или не съществува. Те се наричат ​​на кри-ICAL.

Теорема (достатъчно условие за екстремум).

Ако непрекъсната функция у = F (х) е диференцируема в някои # 948; -vicinity критична точка x0 и през него на преход (отляво надясно), производното е '(х) променя splyusa до минус, след x0 е максималната точка; от минус до плюс, а след това x0 - минималната точка.

За да се изследва функцията на екстремум е да се намери всичко за нея изключително Muma.

За да намерите точка на екстремум на тази функция, трябва да:

1) намерите критичните точки на функция у = F (х);

2) изберете от тях само тези точки, които са вътрешни домейн на функцията;

3) разглежда знака на производно F '(х) от двете страни на всяка от избраните критичните точки;

4) в съответствие с теорема (достатъчно условие за екстремум) предпише екстремум точки (ако има такива), и се изчислява стойността на функция в тях.

Теорема. Ако точка x0 първата производна на F функция (х) е равно на нула (F '(x0) = 0), и втората производна в точка x0 съществува и е различна от нула (F "(x0) ≠ 0), тогава F" (x0 ) <0 в точке x0 функция имеет максимум и минимум - при f "( x0 )> 0.