Изпъкналостта и вдлъбнатина на графиката на функцията
График диференцируема функция нарича изпъкнала (или изпъкнала надолу) за х интервалÎ(А; б). ако тя е по всяко тангента начертана графика в рамките на този интервал.
График функция се нарича вдлъбнат (изпъкнал или нагоре) в х интервалÎ(А; б), ако е разположена под всяка тангента начертана графика в рамките на този интервал.
непрекъсната функция точка диаграма. го разделя от вдлъбнатата изпъкнала част се нарича инфлексна точка.
В най-простите случаи, домейнът на функцията може да бъде разделена на определен брой интервали с постоянна посока на изпъкналост.
в хÎ(А; x0) вдлъбната крива, когато хÎ(Х0; б) изпъкнала, M0 (x0; y0) - инфлексна точка.
Достатъчно условие за изпъкналост, вдлъбнатина.
Ако функцията е два пъти диференцируема и постоянно му знак за всички хÎ(А; б), графиката на функцията има постоянна посока на изпъкналост в този интервал:
при <0 – выпуклость вверх (вогнутость),
при> 0 - изпъкналост надолу, или просто да се издуе.
Необходимо условие за точка на инфлексия.
Ако x0 - абсциса на инфлексна точка на графиката на функцията. нещо или не съществува.
Необходимо условие не е достатъчно. Точки, принадлежащи към функцията за графика. които или не съществува, те призоваха подозрително да се огъват.
Достатъчно условие за точка на инфлексия.
Ако втората производна в минаваща през точка x0 на. подозрително да се огъват, знак на климата, на мястото на графиката с x0 абцисата е точка на инфлексия. Ако няма промени подписват при преминаване през x0. тогава не инфлексия.
В следващите примери, необходима за определяне на интервалите на инфлексните точка и изпъкналост и вдлъбнатината на графики.
В областта на функцията.
Проверяваме достатъчно условие за изпъкналост, вдлъбнатина, точки на инфлексия:
Когато х = 1 и х = 3 имат прегъвания, при х = 0 не инфлексия.
Compute координира инфлексни точки:
Изпъкналите графика на хÎ(- ¥ 1) и хÎ(3 + ¥), вдлъбната крива на хÎ(1, 3).
Домейнът на функцията: хÎ(- ¥ + ¥).
Той не съществува, когато х = 0, но променя знака ² + ² ²-² да, когато преминават през х = 0. Следователно, графиката точката (0, 0) е инфлексна точка при хÎ(- ¥ 0) изпъкнала крива на хÎ(0 + ¥) - вдлъбната.
Определяне на интервалите на изпъкналост и вдлъбнатина на графики на следните функции. Намери инфлексна точка.
1. у = 3 х 3 -8x 4 + 6x 2 12;
2. у = х 3 -12x 2 + х-1;
1. инфлексните точки и;
и когато вдлъбната крива,
когато графика е изпъкнала.
2. инфлексната точка;
когато графика е вдлъбната,
когато графика е изпъкнала.
3. инфлексната точка и;
и когато вдлъбната крива,
когато графика е изпъкнала.
4. инфлексната точка и;
и когато графика е изпъкнала,
при вдлъбната крива.
5. инфлексната точка;
когато графика е вдлъбната,
когато графика е изпъкнала.