Extremum функция, увеличаване и намаляване
Функцията у = F (X) се нарича увеличаване (намаляване) на определен интервал, ако x1
Ако диференцируема функция на у = е (х) в интервала [а. Ь] увеличава (намалява) негово производно на този интервал е '(х)> 0
Хо точка се нарича локален максимум (минимум) на F на функция (х), ако съществува квартал на Хо. за всички точки, където неравенството е (х) ≤ F (Ho) (е (х) ≥ е (Ho)).
Точка максимални и минимални точки се наричат крайни. и стойностите на функцията в тези пунктове - неговите крайности.
екстремалната точка
Необходими условия за екстремум. Ако Хо е точка екстремум на F функция (х), след това или F '(Ho) = 0, или е (Ho) не съществува. Тези точки се наричат критични и функцията се определя в критичната точка. Излага на функции, за да бъдат намерени сред своите критични точки.
Първото условие е достатъчно. Нека Хо - критична точка. Ако F '(х) при преминаване през точката Хо променя знак плюс минус, след това при точката функция Хо има максимален, в противен случай - поне. Ако минаваща през критичната точка на деривата не променя знак, а след това на мястото, Ho не екстремум.
Вторият достатъчно условие. Нека функция F (х) има производно
F '(х) в съседство на Хо и втората производна на мястото Хо. Ако е "(х п) = 0,> 0 ( <0), то точка xо является точкой локального минимума (максимума) функции f ( x ). Если же =0, то нужно либо пользоваться первым достаточным условием, либо привлекать высшие производные.
На интервала [а, Ь] функцията Y = е (х) може да достигне до най-малкия или най-голямата стойност или критичните точки или сегменти в краищата [а, Ь].
Пример 3.22. Виж екстремум на F функция (х) = 2 х 3 - 15x 2 + 36x - 14.
Решение. Тъй като е '(х) = 6x 2 - 30x 36 = 6 (х -2) (х - 3), критичните точки на две и Х1 = Х2 = 3. екстремумите може да бъде само в тези точки. Така че, докато се движите през точка x1 на = 2 деривативни промени подписват от плюс до минус, а след това в този момент функцията има максимална. При преминаване през точка х2 = 3 деривати промени знак минус до плюс, така че в точка х2 = 3 за функцията най-малко. Изчисляване на стойности на функцията на точки
Х1 = Х2 = 2 и 3, ние откриваме екстремумите на функцията: максимум е (2) = 14 и минималната F (3) = 13.
Проблемът с намирането на функция екстремум
Пример 3.23. Трябва да изградим правоъгълна област в близост до каменната стена, така че от три страни е ограден с телена мрежа, а четвъртата страна е в непосредствена близост до стената. За да направите това, има линейни метра мрежа. В какво съотношение платформа ще бъде най-голяма площ?
Решение. Ние означават страна подложка чрез х и у. размер Pad е S = XY. Нека Y - е дължината на страната в близост до стената. Тогава от хипотеза 2x на равенството + у = а. Следователно, у = а - 2х и S = Х (а - 2х), където
0 ≤ х ≤ / 2 а (дължина и ширина подложка не може да бъде отрицателно). S '= а - 4x, а - 4x = 0 за х = а / 4, където
у = а - 2 х а / 4 = а / 2. Тъй като х = а / 4 - единственият критичната точка, ние проверяваме дали деривативни промени подписват при преминаване през тази точка. Когато X A / 4, S '> 0 и когато х> а / 4, S' <0, значит, в точке x=a /4 функция S имеет максимум. Значение функции S(a/4) = a/4(a - a/2) = a 2 /8 ( кв. ед ). Поскольку S непрерывна на [0, a /2] и ее значения на концах S(0) и S( a /2) равны нулю, то найденное значение будет наибольшим значением функции. Таким образом, наиболее выгодным соотношением сторон площадки при данных условиях задачи является y = 2x.
Пример 3.24. Задължително да се получи затворен цилиндричен резервоар с обем V = 16, р ≈ 50 m 3. Каква трябва да бъде размерите на резервоара (радиус R и височина Н), с производствения материал продължи най-малък?
Решение. Обща повърхност на цилиндъра е равна на S = 2 стр R (R + Н). Знаем, че цилиндричен обем V = р R 2 H Þ N = V / р R2 = 16 р / р R2 = 16 / R 2. Следователно, S (R) = 2 р (R 2 + 16 / R). Намираме производната на тази функция:
S '(R) = 2 р (2R- 16 / R2) = 4, р (R- 8 / R2). S '(R) = 0, когато R 3 = 8, следователно,
R = 2, п = 16/4 = 4.
Пример 3.22. Виж екстремум на F функция (х) = 2 х 3 - 15x 2 + 36x - 14.
Решение. Тъй като е '(х) = 6x 2 - 30x 36 = 6 (х -2) (х - 3), критичните точки на две и Х1 = Х2 = 3. екстремумите може да бъде само в тези точки. Така че, докато се движите през точка x1 на = 2 деривативни промени подписват от плюс до минус, а след това в този момент функцията има максимална. При преминаване през точка х2 = 3 деривати промени знак минус до плюс, така че в точка х2 = 3 за функцията най-малко. Изчисляване на стойности на функцията на точки
Х1 = Х2 = 2 и 3, ние откриваме екстремумите на функцията: максимум е (2) = 14 и минималната F (3) = 13.
Пример 3.23. Трябва да изградим правоъгълна област в близост до каменната стена, така че от три страни е ограден с телена мрежа, а четвъртата страна е в непосредствена близост до стената. За да направите това, има линейни метра мрежа. В какво съотношение платформа ще бъде най-голяма площ?
Решение. Ние означават страна подложка чрез х и у. размер Pad е S = XY. Нека Y - е дължината на страната в близост до стената. Тогава от хипотеза 2x на равенството + у = а. Следователно, у = а - 2х и S = Х (а - 2х), където
0 ≤ х ≤ / 2 а (дължина и ширина подложка не може да бъде отрицателно). S '= а - 4x, а - 4x = 0 за х = а / 4, където
у = а - 2 х а / 4 = а / 2. Тъй като х = а / 4 - единственият критичната точка, ние проверяваме дали деривативни промени подписват при преминаване през тази точка. Когато X A / 4, S '> 0 и когато х> а / 4, S' <0, значит, в точке x=a /4 функция S имеет максимум. Значение функции S(a/4) = a/4(a - a/2) = a 2 /8 ( кв. ед ). Поскольку S непрерывна на [0, a /2] и ее значения на концах S(0) и S( a /2) равны нулю, то найденное значение будет наибольшим значением функции. Таким образом, наиболее выгодным соотношением сторон площадки при данных условиях задачи является y = 2x.
Пример 3.24. Задължително да се получи затворен цилиндричен резервоар с обем V = 16, р ≈ 50 m 3. Каква трябва да бъде размерите на резервоара (радиус R и височина Н), с производствения материал продължи най-малък?
Решение. Обща повърхност на цилиндъра е равна на S = 2 стр R (R + Н). Знаем, че цилиндричен обем V = р R 2 H Þ N = V / р R2 = 16 р / р R2 = 16 / R 2. Следователно, S (R) = 2 р (R 2 + 16 / R). Намираме производната на тази функция:
S '(R) = 2 р (2R- 16 / R2) = 4, р (R- 8 / R2). S '(R) = 0, когато R 3 = 8, следователно,
R = 2, п = 16/4 = 4.